ТОРА (9) - Лекция №3 - Хорошая схема БД - Соединение без потерь: различия между версиями
ILobster (обсуждение | вклад) мНет описания правки |
ILobster (обсуждение | вклад) мНет описания правки |
||
Строка 1: | Строка 1: | ||
Пусть | Пусть {{Формула|f=F}} и {{Формула|f=G}} - два множества ФЗ. | ||
{{Формула|f=G}} называется ''покрытием'' {{Формула|f=F}}, если имеет место равенство {{Формула|f=G^+ = F^+}} | |||
Существуют различные виды покрытий. Но мы рассмотрим только один - ''условно-неизбыточное покрытие''. | Существуют различные виды покрытий. Но мы рассмотрим только один - ''условно-неизбыточное покрытие''. | ||
Строка 7: | Строка 7: | ||
== Алгоритм построение условно-неизбыточного покрытия == | == Алгоритм построение условно-неизбыточного покрытия == | ||
1) если в множестве ФЗ | 1) если в множестве ФЗ {{Формула|f=F}} встречаются ФЗ с одинаковой левой частью {{Формула|f=X}}, то следует объединить эти ФЗ в одну ФЗ. Это следует из аксиомы объединения. Получившееся множество ФЗ обозначим {{Формула|f=G}}; | ||
2) для каждой ФЗ | 2) для каждой ФЗ {{Формула|f=X\rightarrow Y}} из {{Формула|f=G}} заменить её на {{Формула|f=X\rightarrow X^+ - X}}; | ||
После выполнения 1) и 2) получаем замыкание | После выполнения 1) и 2) получаем замыкание {{Формула|f=G^+ = F}} | ||
=== Доказательство === | === Доказательство === | ||
Строка 17: | Строка 17: | ||
1) | 1) | ||
:если ФЗ | :если ФЗ {{Формула|f=X\rightarrow Y\in F}}, то эта ФЗ принадежит {{Формула|f=G^+}}, а из этого следует, что {{Формула|f=Y \subseteq X^+}} | ||
:По построению G имеет место ФЗ: | :По построению G имеет место ФЗ: {{Формула|f=X\rightarrow X^+ - X}} | ||
:Пополним эту ФЗ: | :Пополним эту ФЗ: {{Формула|f=X\rightarrow (X^+ - X)\bigcup X = X^+}} | ||
:Теперь по первой аксиоме Армстронга имеем | :Теперь по первой аксиоме Армстронга имеем {{Формула|f=X^+\rightarrow Y}} | ||
:Значит, | :Значит, {{Формула|f=X\rightarrow Y \in G^+}}, по третьей аксиоме Армстронга. | ||
2) | 2) | ||
: | :{{Формула|f=X\rightarrow Y \in G}}, {{Формула|f=X\rightarrow Y \in F^+}} | ||
: | :{{Формула|f=Y = X^+ - X}} | ||
: | :{{Формула|f=X\rightarrow X^+}} (по определению) | ||
: | :{{Формула|f=X^+\rightarrow X^+ - X}} (1 аксиома Армстронга) | ||
: | :{{Формула|f=X^+\rightarrow X^+ - X = Y}} (3 аксимома Армстронга) | ||
: | :{{Формула|f=X^+\rightarrow Y \in F^+}} | ||
=== Пример === | === Пример === | ||
УСО: | УСО: {{Формула|f=R = (A, B, C)}} | ||
Множество ФЗ: | Множество ФЗ: {{Формула|f=F = (A\rightarrow B, B\rightarrow A, C\rightarrow A, A\rightarrow C, B\rightarrow C)}} | ||
1) | 1) | ||
:{{Формула|f=G = (A\rightarrow BC, B\rightarrow AC, C\rightarrow A}} | |||
2) | 2) | ||
:{{Формула|f=A^+ = ABC}}, {{Формула|f=A^+ - A = BC}} | |||
:{{Формула|f=B^+ = BAC}}, {{Формула|f=B^+ - B = AC}} | |||
:{{Формула|f=C^+ = CAB}}, {{Формула|f=C^+ - C = AB}} | |||
Тогда | Тогда {{Формула|f=G = (A\rightarrow BC, B\rightarrow AC, C\rightarrow AB)}} будет являться УНП. | ||
== Свойства "хорошей" схемы БД == | == Свойства "хорошей" схемы БД == | ||
Строка 73: | Строка 75: | ||
=== Соединение без потерь === | === Соединение без потерь === | ||
Пусть | Пусть {{Формула|f=\rho = (R_1 ... R_n)}} - схема БД. Она будет обладать свойствоем соединения без потерь, если для любого экземпляра отношения {{Формула|f=r}} из {{Формула|f=R}} справедливо равенство: {{Формула|f=r = \Pi_{R_1}(r) \bowtie \Pi_{R_2}(r) \bowtie ... \bowtie \Pi_{R_n}(r)}}, где {{Формула|f=\Pi_{R_i}(r)}} - это проекция экземпляра отношения {{Формула|f=r}} на множество атрибутов {{Формула|f=R_i}} | ||
==== Пример БД, не обладающей свойством соединения без потерь ==== | ==== Пример БД, не обладающей свойством соединения без потерь ==== | ||
{{Формула|f=R = (A, B, C)}} | |||
{{Формула|f=\rho = (AB, BC) = (R_1, R_2)}} | |||
{{Формула|f=F = (A\rightarrow B)}} | |||
Достаточно привести пример экземпляра | Достаточно привести пример экземпляра {{Формула|f=r}}, для которого равенство не выполняется: | ||
{| class="wikitable" | {| class="wikitable" | ||
! !! A !! B !! C | ! !! A !! B !! C | ||
|- align="center" | |- align="center" | ||
| rowspan="2" | | | rowspan="2" | {{Формула|f=r}} || {{Формула|f=a_1}} || {{Формула|f=b_1}} || {{Формула|f=c_1}} | ||
|- align="center" | |- align="center" | ||
| | | {{Формула|f=a_2}} || {{Формула|f=b_1}} || {{Формула|f=c_2}} | ||
|} | |} | ||
Строка 98: | Строка 100: | ||
! !! A !! B | ! !! A !! B | ||
|- align="center" | |- align="center" | ||
| rowspan="2" | | | rowspan="2" | {{Формула|f=\Pi_{R_1}(r)}} || {{Формула|f=a_1}} || {{Формула|f=b_1}} | ||
|- align="center" | |- align="center" | ||
| | | {{Формула|f=a_2}} || {{Формула|f=b_1}} | ||
|} | |} | ||
| | | | ||
Строка 108: | Строка 110: | ||
! !! A !! B | ! !! A !! B | ||
|- align="center" | |- align="center" | ||
| rowspan="2" | | | rowspan="2" | {{Формула|f=\Pi_{R_2}(r)}} || {{Формула|f=b_1}} || {{Формула|f=c_1}} | ||
|- align="center" | |- align="center" | ||
| | | {{Формула|f=b_1}} || {{Формула|f=c_2}} | ||
|} | |} | ||
|} | |} | ||
Полученное соединение не будет равняться | Полученное соединение не будет равняться {{Формула|f=r}}: | ||
{| class="wikitable" | {| class="wikitable" | ||
! !! A !! B !! C | ! !! A !! B !! C | ||
|- align="center" | |- align="center" | ||
| rowspan="4" | | | rowspan="4" | {{Формула|f=\Pi_{R_1}(r) \bowtie \Pi_{R_2}(r)}} || {{Формула|f=a_1}} || {{Формула|f=b_1}} || {{Формула|f=c_1}} | ||
|- align="center" bgcolor="#FFB6C1" | |- align="center" bgcolor="#FFB6C1" | ||
| | | {{Формула|f=a_1}} || {{Формула|f=b_1}} || {{Формула|f=c_2}} | ||
|- align="center" bgcolor="#FFB6C1" | |- align="center" bgcolor="#FFB6C1" | ||
| | | {{Формула|f=a_2}} || {{Формула|f=b_1}} || {{Формула|f=c_1}} | ||
|- align="center" | |- align="center" | ||
| | | {{Формула|f=a_2}} || {{Формула|f=b_1}} || {{Формула|f=c_2}} | ||
|} | |} | ||
Строка 132: | Строка 134: | ||
==== Пример БД, обладающей свойством соединения без потерь ==== | ==== Пример БД, обладающей свойством соединения без потерь ==== | ||
{{Формула|f=R = (A, B, C)}} | |||
{{Формула|f=\rho = (AB, AC) = (R_1, R_2)}} | |||
{{Формула|f=F = (A\rightarrow B)}} | |||
Возьмём тот же экземпляр: | Возьмём тот же экземпляр: | ||
Строка 143: | Строка 145: | ||
! !! A !! B !! C | ! !! A !! B !! C | ||
|- align="center" | |- align="center" | ||
| rowspan="2" | | | rowspan="2" | {{Формула|f=r}} || {{Формула|f=a_1}} || {{Формула|f=b_1}} || {{Формула|f=c_1}} | ||
|- align="center" | |- align="center" | ||
| | | {{Формула|f=a_2}} || {{Формула|f=b_1}} || {{Формула|f=c_2}} | ||
|} | |} | ||
Строка 153: | Строка 155: | ||
! !! A !! B | ! !! A !! B | ||
|- align="center" | |- align="center" | ||
| rowspan="2" | | | rowspan="2" | {{Формула|f=\Pi_{R_1}(r)}} || {{Формула|f=a_1}} || {{Формула|f=b_1}} | ||
|- align="center" | |- align="center" | ||
| | | {{Формула|f=a_2}} || {{Формула|f=b_1}} | ||
|} | |} | ||
| | | | ||
Строка 163: | Строка 165: | ||
! !! A !! B | ! !! A !! B | ||
|- align="center" | |- align="center" | ||
| rowspan="2" | | | rowspan="2" | {{Формула|f=\Pi_{R_2}(r)}} || {{Формула|f=a_1}} || {{Формула|f=c_1}} | ||
|- align="center" | |- align="center" | ||
| | | {{Формула|f=a_2}} || {{Формула|f=c_2}} | ||
|} | |} | ||
|} | |} | ||
Полученное соединение будет равняться | Полученное соединение будет равняться {{Формула|f=r}}: | ||
{| class="wikitable" | {| class="wikitable" | ||
! !! A !! B !! C | ! !! A !! B !! C | ||
|- align="center" | |- align="center" | ||
| rowspan="2" | | | rowspan="2" | {{Формула|f=\Pi_{R_1}(r) \bowtie \Pi_{R_2}(r)}} || {{Формула|f=a_1}} || {{Формула|f=b_1}} || {{Формула|f=c_1}} | ||
|- align="center" | |- align="center" | ||
| | | {{Формула|f=a_2}} || {{Формула|f=b_1}} || {{Формула|f=c_2}} | ||
|} | |} | ||
Строка 183: | Строка 185: | ||
==== Алгоритм проверки схемы БД на свойство соединения без потерь ==== | ==== Алгоритм проверки схемы БД на свойство соединения без потерь ==== | ||
{{Формула|f=\rho = (R_1 ... R_n)}} | |||
{{Формула|f=R = (A_1 ... A_n)}} | |||
1) построить таблицу T: | 1) построить таблицу T: | ||
{| class="wikitable" | {| class="wikitable" | ||
! !! | ! !! {{Формула|f=A_1}} || {{Формула|f=A_2}} || ... || {{Формула|f=A_k}} | ||
|- align="center" | |- align="center" | ||
! | ! {{Формула|f=R_1}} | ||
| || || || | | || || || | ||
|- align="center" | |- align="center" | ||
! | ! {{Формула|f=R_2}} | ||
| || || || | | || || || | ||
|- align="center" | |- align="center" | ||
Строка 201: | Строка 203: | ||
| || || || | | || || || | ||
|- align="center" | |- align="center" | ||
! | ! {{Формула|f=R_n}} | ||
| || || || | | || || || | ||
|} | |} | ||
И заполнить таблицу T по правилу: если | И заполнить таблицу T по правилу: если {{Формула|f=A_j \in R_i}}, то {{Формула|f=T_{ij}=a}}, иначе {{Формула|f=T_{ij}=b_i}} | ||
2) изменить таблицу T - циклически просматривать ФЗ из | 2) изменить таблицу T - циклически просматривать ФЗ из {{Формула|f=F}} в любом порядке, и для очередной ФЗ {{Формула|f=X\rightarrow Y \in F}} выполнить следующие действия: | ||
* найти в таблице T строки, совпадающие по атрибутам | * найти в таблице T строки, совпадающие по атрибутам {{Формула|f=X}} (по левой части); | ||
* если хотя бы в одной такой строке значение атрибута | * если хотя бы в одной такой строке значение атрибута {{Формула|f=A_m \in Y = a}}, то во всех найденных строках присвоить {{Формула|f=A_m = a}}, иначе присвоить {{Формула|f=A_m = b_i}} (}}i}} - номер одной из найденных строк, {{Формула|f=b_i}} должно быть одинаково во всех указанных строках); | ||
* выполнить предыдущие два пункта для всех атрибутов | * выполнить предыдущие два пункта для всех атрибутов {{Формула|f=A_l \in Y}}; | ||
* выполнить предыдущие три пункта для всех ФЗ из | * выполнить предыдущие три пункта для всех ФЗ из {{Формула|f=F}}, циклически их просматривая. | ||
3) алгоритм останавливается, если при очередном просмотре ФЗ из | 3) алгоритм останавливается, если при очередном просмотре ФЗ из {{Формула|f=F}}: | ||
* не произошло никаких изменений в таблице T; | * не произошло никаких изменений в таблице T; | ||
* какая-нибудь строка в T не стала состоять сплошь из символов | * какая-нибудь строка в T не стала состоять сплошь из символов {{Формула|f=a}} (наличие такой строки и говорит о выполнении свойства соединения без потерь). | ||
===== Пример ===== | ===== Пример ===== | ||
Пусть | Пусть {{Формула|f=R = (A, B, C)}} | ||
{{Формула|f=\rho = (AB, AC) = (R_1, R_2)}} | |||
{{Формула|f=F = (A\rightarrow B)}} | |||
Доказать, что | Доказать, что {{Формула|f=\rho}} обладает свойством соединения без потерь. | ||
1) | 1) | ||
Строка 233: | Строка 235: | ||
|- align="center" | |- align="center" | ||
! AB | ! AB | ||
| | | {{Формула|f=a}} || {{Формула|f=a}} || {{Формула|f=b_1}} | ||
|- align="center" | |- align="center" | ||
! BC | ! BC | ||
| | | {{Формула|f=a}} || {{Формула|f=b_2}} || {{Формула|f=a}} | ||
|} | |} | ||
Строка 247: | Строка 249: | ||
|- align="center" | |- align="center" | ||
! AB | ! AB | ||
| | | {{Формула|f=a}} || {{Формула|f=a}} || {{Формула|f=b_1}} | ||
|- align="center" | |- align="center" | ||
! BC | ! BC | ||
| | | {{Формула|f=a}} || {{Формула|f=b_2}} || {{Формула|f=a}} | ||
|} | |} | ||
| | | | ||
Строка 259: | Строка 261: | ||
|- align="center" | |- align="center" | ||
! AB | ! AB | ||
| | | {{Формула|f=a}} || {{Формула|f=a}} || {{Формула|f=b_1}} | ||
|- align="center" | |- align="center" | ||
! BC | ! BC | ||
| | | {{Формула|f=a}} || bgcolor="lime" | {{Формула|f=a}} || {{Формула|f=a}} | ||
|} | |} | ||
|} | |} | ||
Получили строку, сплошь состоящую из | Получили строку, сплошь состоящую из {{Формула|f=a}}. Значит {{Формула|f=\rho}} обладает свойством соединения без потерь. | ||
===== Другой пример ===== | ===== Другой пример ===== | ||
Пусть | Пусть {{Формула|f=R = (A, B, C, D, E, F, P, S)}} | ||
{{Формула|f=\rho = (AB, ACDPS, BCPS, DEF) = (R_1, R_2, R_3, R_4)}} | |||
{{Формула|f=F = (B\rightarrow C, D\rightarrow EF, B\rightarrow PS, A\rightarrow CDPS, AP\rightarrow S)}} | |||
Доказать, что | Доказать, что {{Формула|f=\rho}} обладает свойством соединения без потерь. | ||
1) | 1) | ||
Строка 284: | Строка 286: | ||
|- align="center" | |- align="center" | ||
! AB | ! AB | ||
| | | {{Формула|f=a}} || {{Формула|f=a}} || {{Формула|f=b_1}} || {{Формула|f=b_1}} || {{Формула|f=b_1}} || {{Формула|f=b_1}} || {{Формула|f=b_1}} || {{Формула|f=b_1}} | ||
|- align="center" | |- align="center" | ||
! ACDPS | ! ACDPS | ||
| | | {{Формула|f=a}} || {{Формула|f=b_2}} || {{Формула|f=a}} || {{Формула|f=a}} || {{Формула|f=b_2}} || {{Формула|f=b_2}} || {{Формула|f=a}} || {{Формула|f=a}} | ||
|- align="center" | |- align="center" | ||
! BCPS | ! BCPS | ||
| | | {{Формула|f=b_3}} || {{Формула|f=a}} || {{Формула|f=a}} || {{Формула|f=b_3}} || {{Формула|f=b_3}} || {{Формула|f=b_3}} || {{Формула|f=a}} || {{Формула|f=a}} | ||
|- align="center" | |- align="center" | ||
! DEF | ! DEF | ||
| | | {{Формула|f=b_4}} || {{Формула|f=b_4}} || {{Формула|f=b_4}} || {{Формула|f=a}} || {{Формула|f=a}} || {{Формула|f=a}} || {{Формула|f=b_4}} || {{Формула|f=b_4}} | ||
|} | |} | ||
Строка 304: | Строка 306: | ||
|- align="center" | |- align="center" | ||
! AB | ! AB | ||
| | | {{Формула|f=a}} || {{Формула|f=a}} || bgcolor="lime" | {{Формула|f=a}} || bgcolor="lime" | {{Формула|f=a}} || {{Формула|f=b_1}} || {{Формула|f=b_1}} || bgcolor="lime" | {{Формула|f=a}} || bgcolor="lime" | {{Формула|f=a}} | ||
|- align="center" | |- align="center" | ||
! ACDPS | ! ACDPS | ||
| | | {{Формула|f=a}} || {{Формула|f=b_2}} || {{Формула|f=a}} || {{Формула|f=a}} || bgcolor="lime" | {{Формула|f=a}} || bgcolor="lime" | {{Формула|f=a}} || {{Формула|f=a}} || {{Формула|f=a}} | ||
|- align="center" | |- align="center" | ||
! BCPS | ! BCPS | ||
| | | {{Формула|f=b_3}} || {{Формула|f=a}} || {{Формула|f=a}} || {{Формула|f=b_3}} || {{Формула|f=b_3}} || {{Формула|f=b_3}} || {{Формула|f=a}} || {{Формула|f=a}} | ||
|- align="center" | |- align="center" | ||
! DEF | ! DEF | ||
| | | {{Формула|f=b_4}} || {{Формула|f=b_4}} || {{Формула|f=b_4}} || {{Формула|f=a}} || {{Формула|f=a}} || {{Формула|f=a}} || {{Формула|f=b_4}} || {{Формула|f=b_4}} | ||
|} | |} | ||
Строка 322: | Строка 324: | ||
|- align="center" | |- align="center" | ||
! AB | ! AB | ||
| | | {{Формула|f=a}} || {{Формула|f=a}} || bgcolor="lime" | {{Формула|f=a}} || bgcolor="lime" | {{Формула|f=a}} || bgcolor="#32CD32" | {{Формула|f=a}} || bgcolor="#32CD32" | {{Формула|f=a}} || bgcolor="lime" | {{Формула|f=a}} || bgcolor="lime" | {{Формула|f=a}} | ||
|- align="center" | |- align="center" | ||
! ACDPS | ! ACDPS | ||
| | | {{Формула|f=a}} || {{Формула|f=b_2}} || {{Формула|f=a}} || {{Формула|f=a}} || bgcolor="lime" | {{Формула|f=a}} || bgcolor="lime" | {{Формула|f=a}} || {{Формула|f=a}} || {{Формула|f=a}} | ||
|- align="center" | |- align="center" | ||
! BCPS | ! BCPS | ||
| | | {{Формула|f=b_3}} || {{Формула|f=a}} || {{Формула|f=a}} || {{Формула|f=b_3}} || {{Формула|f=b_3}} || {{Формула|f=b_3}} || {{Формула|f=a}} || {{Формула|f=a}} | ||
|- align="center" | |- align="center" | ||
! DEF | ! DEF | ||
| | | {{Формула|f=b_4}} || {{Формула|f=b_4}} || {{Формула|f=b_4}} || {{Формула|f=a}} || {{Формула|f=a}} || {{Формула|f=a}} || {{Формула|f=b_4}} || {{Формула|f=b_4}} | ||
|} | |} | ||
Вот и получили строку, сплошь состоящую из | Вот и получили строку, сплошь состоящую из {{Формула|f=a}}. Значит {{Формула|f=\rho}} обладает свойством соединения без потерь. | ||
[[Категория:Теоретические основы реляционной алгебры (9 семестр)]] | [[Категория:Теоретические основы реляционной алгебры (9 семестр)]] | ||
[[Категория:Конспекты лекций и семинаров]] | [[Категория:Конспекты лекций и семинаров]] |
Версия от 14:41, 22 сентября 2012
Пусть $$F$$ и $$G$$ - два множества ФЗ.
$$G$$ называется покрытием $$F$$, если имеет место равенство $$G^+ = F^+$$
Существуют различные виды покрытий. Но мы рассмотрим только один - условно-неизбыточное покрытие.
Алгоритм построение условно-неизбыточного покрытия
1) если в множестве ФЗ $$F$$ встречаются ФЗ с одинаковой левой частью $$X$$, то следует объединить эти ФЗ в одну ФЗ. Это следует из аксиомы объединения. Получившееся множество ФЗ обозначим $$G$$;
2) для каждой ФЗ $$X\rightarrow Y$$ из $$G$$ заменить её на $$X\rightarrow X^+ - X$$;
После выполнения 1) и 2) получаем замыкание $$G^+ = F$$
Доказательство
1)
- если ФЗ $$X\rightarrow Y\in F$$, то эта ФЗ принадежит $$G^+$$, а из этого следует, что $$Y \subseteq X^+$$
- По построению G имеет место ФЗ: $$X\rightarrow X^+ - X$$
- Пополним эту ФЗ: $$X\rightarrow (X^+ - X)\bigcup X = X^+$$
- Теперь по первой аксиоме Армстронга имеем $$X^+\rightarrow Y$$
- Значит, $$X\rightarrow Y \in G^+$$, по третьей аксиоме Армстронга.
2)
- $$X\rightarrow Y \in G$$, $$X\rightarrow Y \in F^+$$
- $$Y = X^+ - X$$
- $$X\rightarrow X^+$$ (по определению)
- $$X^+\rightarrow X^+ - X$$ (1 аксиома Армстронга)
- $$X^+\rightarrow X^+ - X = Y$$ (3 аксимома Армстронга)
- $$X^+\rightarrow Y \in F^+$$
Пример
УСО: $$R = (A, B, C)$$
Множество ФЗ: $$F = (A\rightarrow B, B\rightarrow A, C\rightarrow A, A\rightarrow C, B\rightarrow C)$$
1)
- $$G = (A\rightarrow BC, B\rightarrow AC, C\rightarrow A$$
2)
- $$A^+ = ABC$$, $$A^+ - A = BC$$
- $$B^+ = BAC$$, $$B^+ - B = AC$$
- $$C^+ = CAB$$, $$C^+ - C = AB$$
Тогда $$G = (A\rightarrow BC, B\rightarrow AC, C\rightarrow AB)$$ будет являться УНП.
Свойства "хорошей" схемы БД
"Хорошая", но не оптимальная. Должна обладать следующими свойствами:
- соединение без потерь;
- сохранение ФЗ;
- каждая схема отношений в этой БД находится в 3НФ. Наличие этого свойства обеспечивает отсутствие в схемах отношений следующих аномалий:
- избыточность;
- потенциальная противоречивсть;
- аномалия обновления;
- аномалия удаления.
Соединение без потерь
Пусть $$\rho = (R_1 ... R_n)$$ - схема БД. Она будет обладать свойствоем соединения без потерь, если для любого экземпляра отношения $$r$$ из $$R$$ справедливо равенство: $$r = \Pi_{R_1}(r) \bowtie \Pi_{R_2}(r) \bowtie ... \bowtie \Pi_{R_n}(r)$$, где $$\Pi_{R_i}(r)$$ - это проекция экземпляра отношения $$r$$ на множество атрибутов $$R_i$$
Пример БД, не обладающей свойством соединения без потерь
$$R = (A, B, C)$$
$$\rho = (AB, BC) = (R_1, R_2)$$
$$F = (A\rightarrow B)$$
Достаточно привести пример экземпляра $$r$$, для которого равенство не выполняется:
A | B | C | |
---|---|---|---|
$$r$$ | $$a_1$$ | $$b_1$$ | $$c_1$$ |
$$a_2$$ | $$b_1$$ | $$c_2$$ |
|
|
Полученное соединение не будет равняться $$r$$:
A | B | C | |
---|---|---|---|
$$\Pi_{R_1}(r) \bowtie \Pi_{R_2}(r)$$ | $$a_1$$ | $$b_1$$ | $$c_1$$ |
$$a_1$$ | $$b_1$$ | $$c_2$$ | |
$$a_2$$ | $$b_1$$ | $$c_1$$ | |
$$a_2$$ | $$b_1$$ | $$c_2$$ |
Этот пример показывает, что при неправильном построении БД запросы могут выдавать неправильный результат.
Пример БД, обладающей свойством соединения без потерь
$$R = (A, B, C)$$
$$\rho = (AB, AC) = (R_1, R_2)$$
$$F = (A\rightarrow B)$$
Возьмём тот же экземпляр:
A | B | C | |
---|---|---|---|
$$r$$ | $$a_1$$ | $$b_1$$ | $$c_1$$ |
$$a_2$$ | $$b_1$$ | $$c_2$$ |
|
|
Полученное соединение будет равняться $$r$$:
A | B | C | |
---|---|---|---|
$$\Pi_{R_1}(r) \bowtie \Pi_{R_2}(r)$$ | $$a_1$$ | $$b_1$$ | $$c_1$$ |
$$a_2$$ | $$b_1$$ | $$c_2$$ |
Но это не доказательство, а только один пример, просто чтобы показать, в чём разница.
Алгоритм проверки схемы БД на свойство соединения без потерь
$$\rho = (R_1 ... R_n)$$
$$R = (A_1 ... A_n)$$
1) построить таблицу T:
$$A_1$$ | $$A_2$$ | ... | $$A_k$$ | |
---|---|---|---|---|
$$R_1$$ | ||||
$$R_2$$ | ||||
... | ||||
$$R_n$$ |
И заполнить таблицу T по правилу: если $$A_j \in R_i$$, то $$T_{ij}=a$$, иначе $$T_{ij}=b_i$$
2) изменить таблицу T - циклически просматривать ФЗ из $$F$$ в любом порядке, и для очередной ФЗ $$X\rightarrow Y \in F$$ выполнить следующие действия:
- найти в таблице T строки, совпадающие по атрибутам $$X$$ (по левой части);
- если хотя бы в одной такой строке значение атрибута $$A_m \in Y = a$$, то во всех найденных строках присвоить $$A_m = a$$, иначе присвоить $$A_m = b_i$$ (}}i}} - номер одной из найденных строк, $$b_i$$ должно быть одинаково во всех указанных строках);
- выполнить предыдущие два пункта для всех атрибутов $$A_l \in Y$$;
- выполнить предыдущие три пункта для всех ФЗ из $$F$$, циклически их просматривая.
3) алгоритм останавливается, если при очередном просмотре ФЗ из $$F$$:
- не произошло никаких изменений в таблице T;
- какая-нибудь строка в T не стала состоять сплошь из символов $$a$$ (наличие такой строки и говорит о выполнении свойства соединения без потерь).
Пример
Пусть $$R = (A, B, C)$$
$$\rho = (AB, AC) = (R_1, R_2)$$
$$F = (A\rightarrow B)$$
Доказать, что $$\rho$$ обладает свойством соединения без потерь.
1)
A | B | C | |
---|---|---|---|
AB | $$a$$ | $$a$$ | $$b_1$$ |
BC | $$a$$ | $$b_2$$ | $$a$$ |
2)
|
|
Получили строку, сплошь состоящую из $$a$$. Значит $$\rho$$ обладает свойством соединения без потерь.
Другой пример
Пусть $$R = (A, B, C, D, E, F, P, S)$$
$$\rho = (AB, ACDPS, BCPS, DEF) = (R_1, R_2, R_3, R_4)$$
$$F = (B\rightarrow C, D\rightarrow EF, B\rightarrow PS, A\rightarrow CDPS, AP\rightarrow S)$$
Доказать, что $$\rho$$ обладает свойством соединения без потерь.
1)
A | B | C | D | E | F | P | S | |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
AB | $$a$$ | $$a$$ | $$b_1$$ | $$b_1$$ | $$b_1$$ | $$b_1$$ | $$b_1$$ | $$b_1$$ |
ACDPS | $$a$$ | $$b_2$$ | $$a$$ | $$a$$ | $$b_2$$ | $$b_2$$ | $$a$$ | $$a$$ |
BCPS | $$b_3$$ | $$a$$ | $$a$$ | $$b_3$$ | $$b_3$$ | $$b_3$$ | $$a$$ | $$a$$ |
DEF | $$b_4$$ | $$b_4$$ | $$b_4$$ | $$a$$ | $$a$$ | $$a$$ | $$b_4$$ | $$b_4$$ |
2)
первый просмотр:
A | B | C | D | E | F | P | S | |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
AB | $$a$$ | $$a$$ | $$a$$ | $$a$$ | $$b_1$$ | $$b_1$$ | $$a$$ | $$a$$ |
ACDPS | $$a$$ | $$b_2$$ | $$a$$ | $$a$$ | $$a$$ | $$a$$ | $$a$$ | $$a$$ |
BCPS | $$b_3$$ | $$a$$ | $$a$$ | $$b_3$$ | $$b_3$$ | $$b_3$$ | $$a$$ | $$a$$ |
DEF | $$b_4$$ | $$b_4$$ | $$b_4$$ | $$a$$ | $$a$$ | $$a$$ | $$b_4$$ | $$b_4$$ |
второй просмотр:
A | B | C | D | E | F | P | S | |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
AB | $$a$$ | $$a$$ | $$a$$ | $$a$$ | $$a$$ | $$a$$ | $$a$$ | $$a$$ |
ACDPS | $$a$$ | $$b_2$$ | $$a$$ | $$a$$ | $$a$$ | $$a$$ | $$a$$ | $$a$$ |
BCPS | $$b_3$$ | $$a$$ | $$a$$ | $$b_3$$ | $$b_3$$ | $$b_3$$ | $$a$$ | $$a$$ |
DEF | $$b_4$$ | $$b_4$$ | $$b_4$$ | $$a$$ | $$a$$ | $$a$$ | $$b_4$$ | $$b_4$$ |
Вот и получили строку, сплошь состоящую из $$a$$. Значит $$\rho$$ обладает свойством соединения без потерь.