АМСОИ (10) - Лекция №1 - СМО
Системы и сети массового обслуживания
Массовое обслуживание
СМО
Системы массового обслуживания.
Здесь:
- $$\lambda$$ - интенсивность входного потока заявок;
- $$\nu$$ - интенсивность обслуживания. Отношение дисперсии к квадрату матожидания;
- $$\nu^2_0$$ - квадрат коэффициента вариаций. Отношение среднего квадратического отклонения к матожиданию;
- $$\mu$$ - очередь.
Обозначения:
- $$a$$ - тип входного потока:
- $$M$$ - пуассоновский поток;
- $$b$$ - тип обслуживания;
- $$M$$ - экспоненциальное;
- $$c$$ - количество аппаратов;
- $$1$$ - один обслуживающий аппарат;
- $$d$$ - ёмкость очереди;
- $$\infty$$ - очередь бесконечна;
- $$e$$ - дисциплина выбора заявок из очереди на обслуживание;
- $$FIFO$$ - FIFO;
- $$f$$ - количество источников заявок;
- $$\infty$$ - бесконечный поток.
Существует Эрландовский входной поток: $$К_{эрл} = \frac{1}{\nu^2}$$
СеМО
Сеть массового обслуживания.
Параметры:
- $$\rho = \frac{\lambda}{\mu} < 1$$ - загрузка системы;
- $$Q$$ - количество заявок в очереди;
- $$L = Q + \rho$$ - количество заявок в системе;
- $$W$$ - время ожидания (время нахождения в очереди);
- $$T = W + \frac{1}{\mu} = W + t_0$$ - время нахождения в системе.
Расчёт загрузки:
СМО M/M/1 | СМО M/M/2 | |
---|---|---|
$$\rho$$ | $$\frac{\lambda}{\mu}$$ | $$\frac{\lambda}{2\cdot\mu}$$ |
$$Q$$ | $$\frac{\rho^2}{1 - \rho}$$ | $$\frac{2\cdot\rho^3}{1 - \rho^2}$$ |
$$L$$ | $$\frac{\rho}{1 - \rho}$$ | $$\frac{2\cdot\rho}{1 - \rho^2}$$ |
$$W$$ | $$\frac{\rho\cdot t_0}{1 - \rho}$$ | $$\frac{\rho^2\cdot t_0}{1 - \rho^2}$$ |
$$T$$ | $$\frac{t_0}{1 - \rho}$$ | $$\frac{t_0}{1 - \rho^2}$$ |
$$Q = \lambda\cdot W$$
$$L = \lambda\cdot T$$
Зависимость примерно такая:
Дальше что-то происходит:
$$\frac{Q_2}{Q_1} = \frac{2\cdot\rho^3\cdot (1 - \rho)}{(1 - \rho^2)\cdot \rho^2} = \frac{2\cdot\rho}{1 + \rho}$$
$$\frac{L_2}{L_1} = \frac{2\cdot\rho\cdot (1 - \rho)}{(1 - \rho^2)\cdot \rho} = \frac{2}{1 + \rho}$$
$$\frac{T_2}{T_1} = \frac{t_{02}\cdot\ (1 - \rho)}{(1 - \rho^2)\cdot t_{02} } = \frac{\mu_1}{\mu_2\cdot (1 + \rho)} = \frac{2}{1 + \rho}$$
Один обслуживающий аппарат более эффективен, чем два, равных в сумме ему по производительности. Поэтому выбирая между одним, обрабатывающим 10 заявок в час, и двумя, в сумме оба тоже обрабатывающими 10 в час, надо выбирать его.
Домашнее задание №1
Выбрать, какая система обслуживания в магазине будет лучше.
Одновременно в системе (магазине) может находиться 3 или 6 покупателей.