АМСОИ (10) - Лекция №3 - Анализ характеристик функционирования СМО
Этот конспект ещё не дописан. Здесь не хватает: - графиков и некоторых расчётов для этого примера |
Анализ разомкнутых СМО с обратной связью
Анализ характеристик функционирования СМО М/М/1
$$P(t) = 1 - e^{-\frac{t}{t_0} }$$ - вероятность того или иного времени обслуживания и времени пребывания.
$$t_0 = \frac{1}{\mu}$$
$$T = \frac{t_0}{1 - \rho}$$
Пример
$$\lambda = 10$$ заявок/сек.
Найти такую $$\mu$$, чтобы с вероятностью $$P = 0.95$$ среднее время предывания было меньше 1 секунды.
$$\rho = \frac{\lambda}{\mu} = \frac{10}{\mu}$$
$$P(T_{0.095}) < 1$$
Среднее время: $$T < \frac{1}{3} = 0.333$$ секунды.
$$0.333 = \frac{1}{\mu\cdot (1 - \frac{10\mu})} = \frac{\mu}{\mu\cdot (\mu - 10)} = \frac{1}{\mu - 10}$$
$$0.333\cdot (\mu - 10) = 1$$
$$\mu\geq\frac{4.33}{0.333} = 13$$ заявок/сек.
Анализ характеристик функционирования СМО Мn/Мn/1
Mn - означает, что у каждого входного потока свои функции распределения (разные типы заявок).
При анализе СМО данного типа находится среднее число заявок в системе и среднее время ожидания, которое является общим и одинаковым для всех типов заявок.
Пример
Найти характеристики функционирования СМО.
Ищем общую загрузку СМО:
- $$\rho = \sum_{i = 1}^n\frac{\lambda_i}{\mu_i} < 1$$
Находим среднее время обслуживания заявок разных типов:
- $$t_0 = \sum_{i = 1}^n \frac{\lambda_i}{\lambda}\cdot t_i$$
Определяем второй момент времени обслуживания:
- $$t_0^{(2)} = \sum_{i = 1}^n \frac{\lambda_i}{\lambda}\cdot t_i^{(2)}$$
Далее находим среднее время ожидания (будет общим для всех):
- $$W = \frac{\lambda\cdot t_0^{(2)} }{2\cdot (1 - \rho)}$$
Дальше таблица:
№ потока | $$\lambda_i$$ | $$\mu_i$$ | $$t_i = \frac{1}{\mu_i}$$ | $$\nu^2 = \frac{1}{К_эрл}$$ | $$t^{(2)}$$ | $$\rho_i = \frac{\lambda_i}{\mu_i}$$ |
---|---|---|---|---|---|---|
$$\lambda_1$$, детерминированный ($$К_{эрл} = \infty$$) | 0.5 | 2 | 0.5 | 0 | 0.25 | 0.25 |
$$\lambda_2$$, пуассоновский | 0.1 | 0.5 | 2 | 1 | 8 | 0.2 |
$$\lambda_3$$, эрландовский ($$К_{эрл} = 5$$) | 0.03 | 0.2 | 5 | 0.2 | 30 | 0.15 |
Суммарная загрузка $$\rho = 0.25 + 0.2 + 0.15 = 0.6 < 1$$
$$\lambda = \sum_{i = 1}^n\lambda_i = 0.63$$ заявок в секунду.
$$t_0 = \sum_{i = 1}^n\frac{\lambda_i}{\lambda}\cdot t_i = 0.94$$ секунд.
$$t_0^{(2)} = \sum_{i = 1}^n \frac{\lambda_i}{\lambda}\cdot t_i^{(2)} = 2.89$$ секунд.
$$W = \frac{\lambda\cdot t_0^{(2)} }{2\cdot (1 - \rho)} = 2.28$$ секунд.
Анализ характеристик функционирования СМО с эрланговскими потоками
М/Ек/1 - обслуживание у такой СМО эрланговское.
$$\nu^2 = \frac{1}{К_{эрл} }$$
Используется формула Поллячека-Хинчина, она касается среднего количества заявок в очереди: $$Q = \frac{\rho^2\cdot (1 + \nu_0^2)}{2\cdot (1 - \rho)}$$
$$\nu_0^2 = \frac{1}{К_{эрл} } = \frac{1}{2} = 0.5$$
$$\nu_0^2 = 0$$
$$L = Q + \rho = Q + \frac{\lambda}{\mu}$$
$$W = \frac{Q}{\lambda}$$
$$T = \frac{L}{\lambda}$$
Tr/Ек/1 - у такой СМО ещё и поток заявок эрланговский.
Для неё есть формула Файнберга: $$Q = \frac{\rho^2\cdot (\nu_{вх}^2 + \nu_0^2)}{2\cdot (1 - \rho)}$$
Пример сравнения экспоненциального и регулярного
Определить, насколько улучшатся характеристики функционирования СМО при переходе от экспоненциального обслуживания к регулярному при загрузке $$\rho = 0.8$$?
Ищем и сравниваем:
Характеристика | Экспоненциальное обслуживание | Регулярное обслуживание |
---|---|---|
$$Q$$ | 3.2 | 1.6 |
$$L$$ | 4 | 2.4 |
$$W$$ | $$\frac{3.2}{\lambda}$$ | $$\frac{1.6}{\lambda}$$ |
$$T$$ | $$\frac{4}{\lambda}$$ | $$\frac{2.4}{\lambda}$$ |