АМСОИ (10) - Лекция №3 - Анализ характеристик функционирования СМО

Материал из Кафедра ИУ5 МГТУ им. Н.Э.Баумана, студенческое сообщество
Перейти к навигации Перейти к поиску
Этот конспект ещё не дописан.
Здесь не хватает:
   - графиков и некоторых расчётов для этого примера


Анализ разомкнутых СМО с обратной связью

Анализ характеристик функционирования СМО М/М/1

$$P(t) = 1 - e^{-\frac{t}{t_0} }$$ - вероятность того или иного времени обслуживания и времени пребывания.

$$t_0 = \frac{1}{\mu}$$

$$T = \frac{t_0}{1 - \rho}$$

Пример

$$\lambda = 10$$ заявок/сек.

Найти такую $$\mu$$, чтобы с вероятностью $$P = 0.95$$ среднее время предывания было меньше 1 секунды.

$$\rho = \frac{\lambda}{\mu} = \frac{10}{\mu}$$

$$P(T_{0.095}) < 1$$

Среднее время: $$T < \frac{1}{3} = 0.333$$ секунды.

$$0.333 = \frac{1}{\mu\cdot (1 - \frac{10\mu})} = \frac{\mu}{\mu\cdot (\mu - 10)} = \frac{1}{\mu - 10}$$

$$0.333\cdot (\mu - 10) = 1$$

$$\mu\geq\frac{4.33}{0.333} = 13$$ заявок/сек.

Анализ характеристик функционирования СМО Мn/Мn/1

Mn - означает, что у каждого входного потока свои функции распределения (разные типы заявок).

При анализе СМО данного типа находится среднее число заявок в системе и среднее время ожидания, которое является общим и одинаковым для всех типов заявок.

Пример

Найти характеристики функционирования СМО.

Ищем общую загрузку СМО:

$$\rho = \sum_{i = 1}^n\frac{\lambda_i}{\mu_i} < 1$$

Находим среднее время обслуживания заявок разных типов:

$$t_0 = \sum_{i = 1}^n \frac{\lambda_i}{\lambda}\cdot t_i$$

Определяем второй момент времени обслуживания:

$$t_0^{(2)} = \sum_{i = 1}^n \frac{\lambda_i}{\lambda}\cdot t_i^{(2)}$$

Далее находим среднее время ожидания (будет общим для всех):

$$W = \frac{\lambda\cdot t_0^{(2)} }{2\cdot (1 - \rho)}$$

Дальше таблица:

№ потока $$\lambda_i$$ $$\mu_i$$ $$t_i = \frac{1}{\mu_i}$$ $$\nu^2 = \frac{1}{К_эрл}$$ $$t^{(2)}$$ $$\rho_i = \frac{\lambda_i}{\mu_i}$$
$$\lambda_1$$, детерминированный ($$К_{эрл} = \infty$$) 0.5 2 0.5 0 0.25 0.25
$$\lambda_2$$, пуассоновский 0.1 0.5 2 1 8 0.2
$$\lambda_3$$, эрландовский ($$К_{эрл} = 5$$) 0.03 0.2 5 0.2 30 0.15

Суммарная загрузка $$\rho = 0.25 + 0.2 + 0.15 = 0.6 < 1$$

$$\lambda = \sum_{i = 1}^n\lambda_i = 0.63$$ заявок в секунду.

$$t_0 = \sum_{i = 1}^n\frac{\lambda_i}{\lambda}\cdot t_i = 0.94$$ секунд.

$$t_0^{(2)} = \sum_{i = 1}^n \frac{\lambda_i}{\lambda}\cdot t_i^{(2)} = 2.89$$ секунд.

$$W = \frac{\lambda\cdot t_0^{(2)} }{2\cdot (1 - \rho)} = 2.28$$ секунд.

Анализ характеристик функционирования СМО с эрланговскими потоками

М/Ек/1 - обслуживание у такой СМО эрланговское.

$$\nu^2 = \frac{1}{К_{эрл} }$$

Используется формула Поллячека-Хинчина, она касается среднего количества заявок в очереди: $$Q = \frac{\rho^2\cdot (1 + \nu_0^2)}{2\cdot (1 - \rho)}$$

$$\nu_0^2 = \frac{1}{К_{эрл} } = \frac{1}{2} = 0.5$$

$$\nu_0^2 = 0$$

$$L = Q + \rho = Q + \frac{\lambda}{\mu}$$

$$W = \frac{Q}{\lambda}$$

$$T = \frac{L}{\lambda}$$

Tr/Ек/1 - у такой СМО ещё и поток заявок эрланговский.

Для неё есть формула Файнберга: $$Q = \frac{\rho^2\cdot (\nu_{вх}^2 + \nu_0^2)}{2\cdot (1 - \rho)}$$

Пример сравнения экспоненциального и регулярного

Определить, насколько улучшатся характеристики функционирования СМО при переходе от экспоненциального обслуживания к регулярному при загрузке $$\rho = 0.8$$?

Ищем и сравниваем:

Характеристика Экспоненциальное обслуживание Регулярное обслуживание
$$Q$$ 3.2 1.6
$$L$$ 4 2.4
$$W$$ $$\frac{3.2}{\lambda}$$ $$\frac{1.6}{\lambda}$$
$$T$$ $$\frac{4}{\lambda}$$ $$\frac{2.4}{\lambda}$$